사인법칙과 코사인법칙, 삼각형의 넓이

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이 레슨에서 해볼 일

대응하는 변과 각을 짝지어 사인법칙·코사인법칙을 선택한다.
변의 길이와 내각 조건을 확인하고 두 변과 끼인각으로 넓이를 구한다.

먼저 볼 개념과 교과 연결

현재 교과의 개념을 연결합니다.

sin, cos, tan의 정의 sin²θ + cos²θ = 1 과 tanθ = sinθ/cosθ 삼각함수표

2022 개정 · 고등학교 대수: 12대수02-03

교육과정 원문 대조 기준이며 교과서 진도와 교사 최종 검토는 확인 중입니다.

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기본 목표 문제0/5 확인

대표 목표를 확인하는 문제입니다. 선택 심화는 별도로 도전할 수 있어요.

전체 진도0%

01. 사인법칙
0/2 · 0%
02. 코사인법칙
0/3 · 0%
03. 사인법칙과 코사인법칙 총정리
0/1 · 0%
04. 삼각형과 사각형의 넓이
0/3 · 0%
기초
0/5 · 0%
응용
0/5 · 0%
심화
0/3 · 0%

개념 카드는 읽은 만큼, 문제는 맞힌 만큼 올라갑니다. 이 기기에만 저장됩니다.

01사인법칙

큰 각의 대변이 길다 — 이 사실을 외접원으로 정확한 비례식으로 만듭니다.

사인법칙과 외접원

삼각형 ABC에서 각 A, B, C의 의 길이를 각각 a, b, c라 하고, 세 을 지나는 원()의 을 R이라 합시다. 큰 각을 마주 보는 변이 길다는 것은 알고 있지만, 얼마나 긴지는 몰랐습니다. 외접원을 그리면 변의 길이와 각의 $\sin$ 값 사이의 정확한 관계가 드러납니다. 이것이 입니다.

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

BA′를 그으면

\angle BCA' = 90^{\circ}, \angle BA'C = \angle A

개요 — 점 B를 지나는 BA′를 그립니다. 지름에 대한 이므로 $\angle BCA' = 90^{\circ}$ 이고, $\angle A$ 와 $\angle BA'C$ 는 같은 호 BC에 대한 원주각이므로 크기가 같습니다. A′BC에서 $\sin (\angle BA'C) = BC/BA' = a/2R$ 이므로 sinA = a/2R, 즉 a/sinA = 2R입니다. A가 이면 a 자체가 지름이라 $a = 2R = 2R \sin 90^{\circ}$ 로 성립하고, A가 이면 A′가 반대쪽 호에 놓여 $\angle BA'C = 180^{\circ} - A$ 가 되지만 $\sin (180^{\circ} - A) = sinA$ 이므로 역시 성립합니다. b, c에 대해서도 같은 방법으로 보이면 세 비가 모두 2R로 같아집니다.

사인법칙의 활용

은 '각과 그 ' 쌍이 하나라도 있을 때 씁니다. ① 두 각과 한 변을 알면 다른 변을, ② 한 변과 그 을 알면 의 $R = \dfrac{a}{2sinA}$ 를, ③ 두 변과 한 변의 대각을 알면 다른 각을 구할 수 있습니다(③은 $\sin$ 값 하나에 · 두 각이 하므로 삼각형이 되는지 확인합니다). 또 a = 2R sinA, b = 2R sinB, c = 2R sinC이므로 변의 비는 $\sin$ 의 비와 같습니다.

a : b : c = sinA : sinB : sinC

예제

삼각형 ABC에서 B = 30°, C = 45°, b = 6일 때 c와 의 R을 구하시오.

1
b/sinB = c/sinC 에서 $c = b \times sinC / sinB = 6 \times (\dfrac{\sqrt{2}}{2}) \div (\dfrac{1}{2}) = 6\sqrt{2}$
2
b/sinB = 2R 에서 $2R = 6 \div (\dfrac{1}{2}) = 12 \to R = 6$

Check

A : B : C = 1 : 1 : 2 이면 A = B = 45°, C = 90°이므로 $a : b : c = \sin 45^{\circ} : \sin 45^{\circ} : \sin 90^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} : \dfrac{\sqrt{2}}{2} : 1 = 1 : 1 : \sqrt{2}$ — 이등변삼각형의 변의 비와 일치합니다.

02코사인법칙

피타고라스 정리를 직각이 아닌 삼각형으로 확장합니다.

제1코사인법칙 — 변을 두 조각으로

A에서 변 BC에 AH를 내리면 변 a가 BH와 CH 두 조각으로 나뉩니다. ABH에서 BH = c cosB, 직각삼각형 ACH에서 CH = b cosC이므로 a = c cosB + b cosC입니다. B나 C가 이면 H가 변의 바깥에 떨어지지만, 그때는 $\cos$ 값이 가 되어 식은 그대로 성립합니다. 이를 이라 합니다.

a = b cosC + c cosB, b = c cosA + a cosC, c = a cosB + b cosA

Check

$B = C = 45^{\circ}, b = c = \sqrt{2}$ 인 이등변삼각형: $a = \sqrt{2} \cos 45^{\circ} + \sqrt{2} \cos 45^{\circ} = 1 + 1 = 2$ . 피타고라스로 확인하면 $a^{2} = 2 + 2 = 4 \to a = 2$ 로 같습니다.

제2코사인법칙과 증명

이번에는 C에서 변 AB에 CH를 내립니다. ACH에서 CH = b sinA, AH = b cosA이므로 BH = c − b cosA입니다. 직각삼각형 CBH에 를 쓰면 $a^{2} = CH^{2} + BH^{2} = b^{2}\sin ^{2}A + (c - b cosA)^{2} = b^{2}\sin ^{2}A + c^{2} - 2bc cosA + b^{2}\cos ^{2}A = b^{2}(\sin ^{2}A + \cos ^{2}A) + c^{2} - 2bc cosA. \sin ^{2}A + \cos ^{2}A = 1$ 이므로 다음 식을 얻습니다. 이것이 흔히 말하는 (제2코사인법칙)입니다.

CBH에서

a^{2} = CH^{2} + BH^{2}

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc cosA, b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2ca cosB, c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab cosC

A = 90°이면 cosA = 0이라 $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ , 곧 가 됩니다. 은 피타고라스 정리에 '각이 90°에서 벗어난 만큼의 보정항' −2bc cosA를 붙인 것이라고 이해하면 됩니다. A가 이면 $a^{2}$ 이 $b^{2} + c^{2}$ 보다 작고, 이면 큽니다.

예제

삼각형 ABC에서 b = 3, c = 8, A = 60°일 때 a를 구하시오.

1
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc cosA = 9 + 64 - 2 \times 3 \times 8 \times (\dfrac{1}{2})$
2
= 73 − 24 = 49
3
a > 0 이므로 a = 7

코사인법칙의 활용 — 세 변으로 각 구하기

을 cosA에 대해 정리하면 세 변의 길이만으로 각을 구할 수 있습니다. 두 변과 끼인각을 알 때 나머지 변을 구하는 것과 함께, 코사인법칙의 두 가지 대표 용도입니다.

cosA = (b^{2} + c^{2} - a^{2}) / 2bc, cosB = (c^{2} + a^{2} - b^{2}) / 2ca, cosC = (a^{2} + b^{2} - c^{2}) / 2ab

예제

삼각형 ABC에서 a = 7, b = 8, c = 3일 때 A의 크기를 구하시오.

1
$cosA = (b^{2} + c^{2} - a^{2}) / 2bc = \dfrac{64 + 9 - 49}{2 \times 8 \times 3}$
2
$= \dfrac{24}{48} = \dfrac{1}{2}$
3
0° < A < 180° 이고 $cosA = \dfrac{1}{2}$ 이므로 A = 60°

Check

$\cos$ 값이 로 나오면 그 각은 입니다. a = 7, b = 3, c = 5 이면 $cosA = \dfrac{9 + 25 - 49}{30} = -\dfrac{1}{2} \to A = 120^{\circ}$ .

03사인법칙과 코사인법칙 총정리

문제에 무엇이 주어졌는지 보면 어느 법칙을 쓸지 정해집니다.

언제 무엇을 쓰는가

주어진 것	구할 것	쓰는 법칙
두 각과 한 변	나머지 변	(세 번째 각은 의 합 180°로)
한 변과 그	의 R	사인법칙 a/sinA = 2R
두 변과 그중 한 변의 대각	다른 각	사인법칙 (해가 두 개일 수 있으니 삼각형 조건 확인)
두 변과 끼인각	나머지 변	$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc cosA$
세 변	각	코사인법칙 변형 $cosA = (b^{2} + c^{2} - a^{2})/2bc$
sinA : sinB : sinC	a : b : c	사인법칙 (비가 그대로 같음)

판단 요령: 문제에 ''이 나오거나 각과 이 짝지어져 있으면 , 세 변이 모두 있거나 끼인각이 있으면 입니다. 두 법칙을 이어서 쓰는 문제도 많습니다 — 예를 들어 세 변으로 각을 구한 뒤(코사인) 그 각과 대변으로 R을 구합니다(사인).

예제

삼각형 ABC에서 a = 7, b = 3, c = 5일 때 의 R을 구하시오.

1
세 변이 주어졌으므로 : $cosA = \dfrac{9 + 25 - 49}{2 \times 3 \times 5} = -\dfrac{15}{30} = -\dfrac{1}{2} \to A = 120^{\circ}$
2
각 A와 그 a를 알았으므로 : $2R = a/sinA = 7 \div (\dfrac{\sqrt{3}}{2}) = \dfrac{14}{\sqrt{3}}$
3
$R = \dfrac{7}{\sqrt{3}} = 7\sqrt{3}/3$

04삼각형과 사각형의 넓이

높이를 직접 재지 않고, 각의 $\sin$ 값으로 높이를 대신합니다.

두 변과 끼인각으로 구하는 넓이

삼각형의 는 $(\dfrac{1}{2}) \times$ × 입니다. 변 BC를 밑변으로 잡고 A에서 AH를 내리면, ABH에서 높이 h = c sinB입니다. B가 이어도 $h = c \sin (180^{\circ} - B) = c sinB$ 로 같습니다. 따라서 높이를 몰라도 두 변과 그 끼인각만 알면 넓이가 나옵니다.

h = c sinB 이므로

S = (\dfrac{1}{2}) a h = (\dfrac{1}{2}) ac sinB

S = (\frac{1}{2}) bc sinA = (\frac{1}{2}) ca sinB = (\frac{1}{2}) ab sinC

예제

삼각형 ABC에서 a = 4, b = 6, C = 135°일 때 를 구하시오.

1
끼인각이 C 이므로 $S = (\dfrac{1}{2}) ab sinC$
2
$\sin 135^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin 45^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
3
$S = (\dfrac{1}{2}) \times 4 \times 6 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$

헤론의 공식 — 세 변만 알 때

세 변만 주어지면 으로 cosA를 구하고, $sinA = \sqrt{1 - \cos ^{2}A}$ 를 공식에 넣으면 됩니다. 이 과정을 끝까지 정리해 변의 길이만으로 쓴 것이 입니다. s는 의 절반입니다.

S = \sqrt{ s(s - a)(s - b)(s - c) }, s = \frac{a + b + c}{2}

예제

세 변의 길이가 3, 4, 5인 삼각형의 를 으로 구하시오.

1
$s = \dfrac{3 + 4 + 5}{2} = 6$
2
$S = \sqrt{6 \times (6 - 3) \times (6 - 4) \times (6 - 5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$
3
검산: 3, 4, 5는 이므로 $(\dfrac{1}{2}) \times 3 \times 4 = 6$ — 일치합니다.

세 변으로 를 구하는 문제는 두 가지 길이 모두 통합니다. 한 각이 특수각으로 떨어지면 $\to (\dfrac{1}{2})bc sinA$ 가 빠르고, 그렇지 않으면 이 편합니다.

선택 방법

헤론 공식은 세 변으로 를 구하는 추가 방법입니다. 기본 목표는 ·과 두 변의 끼인각을 이용한 넓이 구하기이며, 이 공식의 암기를 요구하지 않습니다. 세 변만 주어져도 코사인법칙으로 각을 구한 뒤 넓이를 구할 수 있습니다.

평행사변형과 사각형의 넓이

이웃한 두 변의 길이가 a, b이고 끼인각이 θ인 은 으로 나누면 인 삼각형 두 개가 됩니다. 각각의 가 $(\dfrac{1}{2})ab \sin \theta$ 이므로 전체는 그 두 배입니다.

으로 나눈 인 두 삼각형 — 각각

(\dfrac{1}{2})ab \sin \theta

평행사변형:

S = ab \sin \theta

일반 사각형은 두 의 길이 p, q와 두 대각선이 이루는 각 θ로 를 구합니다. 두 대각선의 을 중심으로 사각형이 삼각형 네 개로 나뉘는데, 각 삼각형의 두 변은 대각선의 조각이고 끼인각은 θ 또는 $180^{\circ} - \theta$ 입니다. $\sin (180^{\circ} - \theta ) = \sin \theta$ 이므로 네 삼각형의 넓이를 모두 더하면 $(\dfrac{1}{2}) \times (p$ 의 조각 $) \times (q$ 의 조각 $) \times \sin \theta$ 들의 합 $= (\dfrac{1}{2}) pq \sin \theta$ 가 됩니다.

두 p, q와 끼인각 θ — 네 삼각형의 를 더하면

(\dfrac{1}{2})pq \sin \theta

사각형:

S = (\dfrac{1}{2}) pq \sin \theta (p, q

는 두 대각선의 길이, θ는 끼인각)

예제

① 두 변이 4, 5이고 끼인각이 30°인 , ② 두 이 8, 5이고 끼인각이 45°인 사각형의 를 각각 구하시오.

1
① $S = ab \sin \theta = 4 \times 5 \times \sin 30^{\circ} = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10$
2
② $S = (\dfrac{1}{2}) pq \sin \theta = (\dfrac{1}{2}) \times 8 \times 5 \times \sin 45^{\circ} = 20 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$

05레벨별로 풀어보기

개념을 확인했다면 아래 문제로 점검해 보세요. 답을 입력하고 채점하기를 누르면 결과가 나타납니다.

채점표

기초

0/5

응용

0/5

심화

0/3

기초사인법칙·코사인법칙·넓이 공식 그대로 적용

문제 1

삼각형 ABC에서 A = 30°, a = 4일 때 의 R을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

삼각형 ABC에서 A = 45°, B = 60°, a = 4일 때 b를 구하시오. (예:

2\sqrt{3}

형태)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

삼각형 ABC에서 b = 5, c = 8, A = 60°일 때 a를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 4

삼각형 ABC에서

a = 3, b = 3, c = 3\sqrt{3}

일 때 C의 크기(°)를 구하시오. (숫자만 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 5

삼각형 ABC에서 b = 4, c = 6, A = 30°일 때 를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

응용비례식, 둔각 코사인법칙, 두 법칙 연결, 헤론의 공식

문제 1

삼각형 ABC에서 A : B : C = 1 : 2 : 3일 때 a : b : c를 구하시오. (예:

1:\sqrt{2}:2

형태)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

삼각형 ABC에서

a = 2\sqrt{3}, b = 2, A = 60^{\circ}

일 때 B의 크기(°)를 구하시오. (숫자만 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

삼각형 ABC에서 b = 3, c = 5, A = 120°일 때 a를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 4

삼각형 ABC에서

a = \sqrt{3}, B = 45^{\circ}, C = 75^{\circ}

일 때 의 R을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 5

세 변의 길이가 5, 6, 7인 삼각형의 를 구하시오. (예:

3\sqrt{5}

형태)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

심화사각형 넓이, 세 변에서 각을 거쳐 넓이,

\sin

의 비에서 각

문제 1

두 의 길이가 6, 8이고 두 대각선이 이루는 각이 60°인 사각형의 를 구하시오. (예:

5\sqrt{3}

형태)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

삼각형 ABC에서 a = 5, b = 7, c = 8일 때 를 구하시오. (예:

5\sqrt{3}

형태)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

삼각형 ABC에서 sinA : sinB : sinC = 3 : 5 : 7일 때 가장 큰 각의 크기(°)를 구하시오. (숫자만 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)