사인법칙과 코사인법칙, 삼각형의 넓이

사인법칙과 외접원

삼각형 ABC에서 각 A, B, C의 대변의 길이를 각각 a, b, c라 하고, 세 꼭짓점을 지나는 원(외접원)의 반지름을 R이라 합시다. 큰 각을 마주 보는 변이 길다는 것은 알고 있지만, 얼마나 긴지는 몰랐습니다. 외접원을 그리면 변의 길이와 각의 $\sin$ 값 사이의 정확한 관계가 드러납니다. 이것이 사인법칙입니다.

증명 개요 — 점 B를 지나는 지름 BA′를 그립니다. 지름에 대한 원주각이므로 $\angle BCA' = 90^{\circ}$이고$, \angle A$와 $\angle BA'C$는 같은 호 BC에 대한 원주각이므로 크기가 같습니다. 직각삼각형 A′BC에서 $\sin (\angle BA'C) = BC/BA' = a/2R$이므로 sinA = a/2R, 즉 a/sinA = 2R입니다. A가 직각이면 a 자체가 지름이라 $a = 2R = 2R \sin 90^{\circ}$로 성립하고, A가 둔각이면 A′가 반대쪽 호에 놓여 $\angle BA'C = 180^{\circ} - A$가 되지만 $\sin (180^{\circ} - A) = sinA$이므로 역시 성립합니다. b, c에 대해서도 같은 방법으로 보이면 세 비가 모두 2R로 같아집니다.

사인법칙의 활용

사인법칙은 '각과 그 대변' 쌍이 하나라도 있을 때 씁니다. ① 두 각과 한 변을 알면 다른 변을, ② 한 변과 그 대각을 알면 외접원의 반지름 R = a/(2sinA)를, ③ 두 변과 한 변의 대각을 알면 다른 각을 구할 수 있습니다(③은 $\sin$ 값 하나에 예각·둔각 두 각이 대응하므로 삼각형이 되는지 확인합니다). 또 a = 2R sinA, b = 2R sinB, c = 2R sinC이므로 변의 비는 $\sin$의 비와 같습니다.

1. 1
   b/sinB = c/sinC 에서 $c = b \times sinC / sinB = 6 \times (\sqrt{2}/2) \div (1/2) = 6\sqrt{2}$
2. 2
   b/sinB = 2R 에서 $2R = 6 \div (1/2) = 12 \to R = 6$