합의 기호 Σ와 여러 가지 수열의 합

Σ의 뜻과 읽기

수열 $\{a_{k}\}$의 첫째항부터 제n항까지의 합 $a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}$ 을 기호 Σ(시그마)를 써서 $\sum _\{k=1\}^\{n\} a_{k}$ 로 나타냅니다. 'k를 1부터 n까지 하나씩 바꾸어 가며 $a_{k}$를 모두 더하라'는 뜻입니다. 아래에 쓴 k=1은 시작값, 위에 쓴 n은 끝값, 오른쪽의 $a_{k}$는 더할 항의 모양입니다.

더하는 문자 k는 다른 문자로 바꾸어도 값이 같습니다$(\sum _\{i=1\}^\{n\} a$ᵢ 도 같은 합). 시작값이 1이 아니어도 되며, 그때는 $\sum _\{k=m\}^\{n\} a_{k} = (1$부터 n까지의 합) − (1부터 m−1까지의 합) 으로 계산할 수 있습니다.

Σ의 기본 성질

Σ는 결국 덧셈이므로 덧셈에서 되는 것은 Σ에서도 됩니다. 상수는 밖으로 꺼낼 수 있고, 합·차는 따로 나누어 더할 수 있으며, 상수 c를 n번 더하면 cn 입니다.

주의: 곱과 제곱은 분리되지 않습니다. $\sum a_{k}b_{k} \ne (\sum a_{k})(\sum b_{k}), \sum a_{k}^{2} \ne (\sum a_{k})^{2}$ 입니다. 예를 들어 $\sum _\{k=1\}^\{3\} k^{2} = 14$ 이지만 $(\sum _\{k=1\}^\{3\} k)^{2} = 36$ 입니다.

$\sum k$ 는 거꾸로 더하기

1 + 2 + … + n 은 첫째항 1, 공차 1인 등차수열의 합입니다. 같은 합을 거꾸로 써서 더하면 위아래 짝의 합이 모두 n + 1 로 같아집니다.

1. 1
   S = 1 + 2 + … + (n − 1) + n
2. 2
   S = n + (n − 1) + … + 2 + 1
3. 3
   더하면 $2S = (n + 1) \times n$
4. 4
   S = n(n + 1)/2

세 공식

$\sum k^{2}$ 은 $(k + 1)^{3} - k^{3} = 3k^{2} + 3k + 1$ 을 k = 1부터 n까지 더해 좌변을 소거시키면 얻어지고(개요$), \sum k^{3}$ 은 흥미롭게도 $(\sum k)^{2}$ 과 같습니다. 세 공식은 외워 두고 n = 10 같은 값을 넣어 검산하는 습관을 들입니다.

일반항이 다항식인 수열의 합

일반항을 k에 대한 다항식으로 정리한 뒤, Σ의 성질로 항별로 분리하고 상수를 꺼내 세 공식을 적용합니다. 나열된 수열이 주어지면 먼저 제k항을 k의 식으로 써야 합니다.

1. 1
   $= 2\cdot \sum _\{k=1\}^\{n\} k + \sum _\{k=1\}^\{n\} 1$
2. 2
   $= 2\cdot n(n + 1)/2 + n = n^{2} + n + n$
3. 3
   $= n^{2} + 2n$. 확인(n = 4): 3 + 5 + 7 + 9 = 24 = 16 + 8 ✓

1. 1
   제k항은 $k(k + 1) = k^{2} + k$
2. 2
   $\sum (k^{2} + k) = n(n + 1)\dfrac{2n + 1}{6} + n(n + 1)/2$
3. 3
   공통인수 n(n + 1)/6 으로 묶으면 $n(n + 1)\{(2n + 1) + 3\}/6 = n(n + 1)\dfrac{n + 2}{3}$
4. 4
   확인$(n = 3): 2 + 6 + 12 = 20 = 3\cdot 4\cdot \dfrac{5}{3}$ ✓

부분분수와 망원급수

1/(k(k + 1)) 은 $\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 1}$ 과 같습니다(통분하면 {(k + 1) − k}/(k(k + 1)) 로 확인). 이렇게 분수 하나를 두 분수의 차로 쪼개는 것을 부분분수로 나눈다고 합니다. 이 꼴을 차례로 더하면 앞 항의 뒷부분과 다음 항의 앞부분이 지워져 처음과 끝만 남습니다.

1. 1
   $\sum _\{k=1\}^\{n\} 1/(k(k + 1)) = (1 - \dfrac{1}{2}) + (\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}) + \cdots + (\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1})$
2. 2
   $= 1 - \dfrac{1}{n + 1}$
3. 3
   $= \dfrac{n}{n + 1}$. 확인$(n = 2): \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}$ ✓

일반적으로 $\dfrac{1}{AB} = \{\dfrac{1}{B - A}\}\cdot (\dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B})$ 입니다. 분모 두 인수의 차가 1이 아니면 앞에 $\dfrac{1}{B - A}$ 를 곱하는 것을 잊지 마세요. 예: $1/(k(k + 2)) = (\dfrac{1}{2})(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 2})$.

분모 유리화로 소거

일반항이 $\dfrac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}}$ 처럼 분모에 무리식이 있으면, 분모·분자에 $\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}$ 를 곱해 유리화합니다. 분모는 (k + 1) − k = 1 이 되어 사라지고, 남은 식이 다시 '차' 꼴이라 망원급수처럼 소거됩니다.

1. 1
   $= \sum _\{k=1\}^\{8\} (\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}) = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{9} - \sqrt{8})$
2. 2
   $= \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$

S − rS 로 계산하기

일반항이 $k\cdot 2^{k}$ 처럼 (등차수열)×(등비수열) 꼴이면 위의 공식들로는 풀리지 않습니다. 등비수열의 합을 유도할 때처럼 합 S에 공비 r을 곱한 rS를 한 칸 밀어 빼면, 등차 부분의 차가 상수가 되어 남는 부분이 등비수열의 합이 됩니다.

1. 1
   $2S = 1\cdot 2^{2} + 2\cdot 2^{3} + \cdots + (n - 1)\cdot 2^{n} + n\cdot 2^{n+1}$
2. 2
   $S - 2S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + \cdots + 2^{n} - n\cdot 2^{n+1} ($같은 지수끼리 빼면 계수가 모두 1)
3. 3
   $-S = (2^{n+1} - 2) - n\cdot 2^{n+1} = (1 - n)\cdot 2^{n+1} - 2$
4. 4
   $S = (n - 1)\cdot 2^{n+1} + 2$. 확인(n = 3): 2 + 8 + 24 = 34 = 2·16 + 2 ✓