등비수열, 같은 수를 계속 곱하는 수열

등비수열과 공비

첫째항부터 차례로 일정한 수를 곱해 만드는 수열을 등비수열이라 하고, 그 일정한 수를 공비(r)라고 합니다. 항이 0이 아닐 때 이웃한 두 항의 비 $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}$ 이 항상 r로 같다는 뜻입니다. 0인 항을 포함하면 나눗셈 대신 $a_{n+1} = r\cdot a_{n}$으로 확인합니다. 등차수열이 '더하기'의 반복이라면 등비수열은 '곱하기'의 반복입니다.

등비수열의 일반항

첫째항이 a, 공비가 r이면 $a_{2} = ar, a_{3} = ar^{2}, a_{4} = ar^{3}, \cdots$ 입니다. 제n항은 첫째항에 r을 (n − 1)번 곱한 것이므로 지수가 n − 1 입니다.

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   $a_{n} = 3\cdot 2^{n-1}$
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   $a_{6} = 3\cdot 2^{5} = 3\cdot 32 = 96$
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   확인: 3, 6, 12, 24, 48, 96 — 여섯째 항이 96 ✓

두 항을 알 때는 두 항을 나누어 공비부터 구합니다. 예를 들어 $a_{2} = 6, a_{5} = 48$ 이면 $\dfrac{a_{5}}{a_{2}} = r^{3} = 8 \to r = 2, a = \dfrac{6}{2} = 3$ 입니다.

등비중항

0이 아닌 세 수 a, b, c가 이 순서로 등비수열을 이루면 $\dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{b}$ 이므로 $b^{2} = ac$ 입니다. 이때 b를 a와 c의 등비중항이라고 합니다. 등차중항이 '합의 절반'이라면 등비중항은 '곱의 제곱근'입니다.

$rS_{n} - S_{n}$ 으로 공식 만들기

첫째항 a, 공비 r인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합을 $S_{n}$이라 합시다. $S_{n}$에 r을 곱하면 각 항이 한 칸씩 뒤로 밀리므로, 두 식을 빼면 가운데 항들이 모두 지워지고 양 끝만 남습니다.

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   $S_{n} = a + ar + ar^{2} + \cdots + ar^{n-1}$
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   $rS_{n} = ar + ar^{2} + \cdots + ar^{n-1} + ar^{n}$
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   빼면 $S_{n} - rS_{n} = a - ar^{n} \to (1 - r)S_{n} = a(1 - r^{n})$
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   $r \ne 1$ 이면 양변을 1 − r 로 나눌 수 있습니다.

r = 1 이면 모든 항이 a로 같으므로 그냥 n번 더한 것입니다. 공식의 분모가 0이 되므로 이 경우는 반드시 따로 다룹니다.

계산 예

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   $S_{6} = 1\cdot \dfrac{2^{6} - 1}{2 - 1} = 64 - 1 = 63$
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   확인: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 ✓

r > 1 이면 $a(r^{n} - 1)/(r - 1), r < 1$ 이면 $a(1 - r^{n})/(1 - r)$ 꼴을 쓰면 분모·분자가 양수가 되어 계산이 편합니다. 두 식은 같은 식입니다.

$S_{n}$에서 $a_{n}$ 꺼내기

등차수열에서와 같은 원리입니다. $S_{n} - S_{n-1}$ 은 제n항 하나만 남기므로 $a_{n} = S_{n} - S_{n-1} (n \ge 2)$ 이고, 첫째항은 $a_{1} = S_{1}$ 로 따로 구합니다.

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   $a_{1} = S_{1} = 2^{2} - 2 = 2$
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   $n \ge 2: a_{n} = (2^{n+1} - 2) - (2^{n} - 2) = 2^{n+1} - 2^{n} = 2^{n}(2 - 1) = 2^{n}$
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   $2^{n}$ 에 n = 1 을 넣으면 $2 = a_{1}$ 이므로 모든 n에 대해 $a_{n} = 2^{n}$ — 첫째항 2, 공비 2인 등비수열

등비수열이 되는 조건

0이 아닌 세 수가 등비수열을 이룰 조건은 등비중항 $b^{2} = ac$ 입니다. 한편 $A \ne 0, r \ne 0, r \ne 1$인 조건에서 합이 $S_{n} = A\cdot r^{n} + B$ 꼴로 주어지면, $n \ge 2$ 에서 $a_{n} = A\cdot r^{n} - A\cdot r^{n-1} = A(r - 1)\cdot r^{n-1}$ 로 등비수열 모양이 됩니다. 문제는 첫째항 $a_{1} = S_{1} = Ar + B$ 가 이 규칙에 들어맞느냐인데, n = 1 을 넣은 A(r − 1) 과 같아야 하므로 B = −A 입니다.

단리와 복리

원금 a원을 연이율 r로 맡길 때, 단리는 매년 원금에만 이자 ar이 붙으므로 n년 후 원리합계는 a + ar·n — 공차 ar인 등차수열입니다. 복리는 매년 그때까지의 원리합계에 이자가 붙어 (1 + r)배씩 커지므로 공비 (1 + r)인 등비수열입니다.

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   $100\cdot (1 + 0.1)^{5} = 100\cdot 1.1^{5} \approx 100\cdot 1.61 = 161 ($만원)

매년 적립할 때

매년 일정 금액을 적립하면 적립금마다 이자가 붙는 횟수가 다릅니다. 각 적립금의 원리합계를 따로 구해 나열하면 공비 (1 + r)인 등비수열이 되므로, 전체는 등비수열의 합으로 구합니다. 핵심은 '각 적립금에 이자가 몇 번 붙는지'를 정확히 세는 것입니다.

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   1년 초 적립금은 3번, 2년 초는 2번, 3년 초는 1번 이자가 붙습니다.
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   합 $= 10\cdot 1.1^{3} + 10\cdot 1.1^{2} + 10\cdot 1.1$ — 첫째항 10·1.1 = 11, 공비 1.1, 항의 수 3인 등비수열의 합
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   $= 11(1.1^{3} - 1)/(1.1 - 1) = 11\cdot \dfrac{0.331}{0.1} = 11\cdot 3.31 = 36.41 ($만원)

매년 말에 적립하면 마지막 적립금에는 이자가 붙지 않으므로 합은 $10 + 10\cdot 1.1 + 10\cdot 1.1^{2} = 10(1.1^{3} - 1)/0.1 = 33.1 ($만원)이 됩니다. 문제에서 '초'인지 '말'인지 꼭 확인하세요.