등비수열, 같은 수를 계속 곱하는 수열

등비수열과 공비

첫째항부터 차례로 일정한 수를 곱해 만드는 수열을 등비수열이라 하고, 그 일정한 수를 공비(r)라고 합니다. 이웃한 두 항의 비 $a_{n+1}/a_{n}$ 이 항상 r로 같다는 뜻입니다. 등차수열이 '더하기'의 반복이라면 등비수열은 '곱하기'의 반복입니다.

등비수열의 일반항

첫째항이 a, 공비가 r이면 $a_{2} = ar, a_{3} = ar^{2}, a_{4} = ar^{3}, \cdots$ 입니다. 제n항은 첫째항에 r을 (n − 1)번 곱한 것이므로 지수가 n − 1 입니다.

1. 1
   $a_{n} = 3\cdot 2^{n-1}$
2. 2
   $a_{6} = 3\cdot 2^{5} = 3\cdot 32 = 96$
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   확인: 3, 6, 12, 24, 48, 96 — 여섯째 항이 96 ✓

두 항을 알 때는 두 항을 나누어 공비부터 구합니다. 예를 들어 $a_{2} = 6, a_{5} = 48$ 이면 $a_{5}/a_{2} = r^{3} = 8 \to r = 2, a = 6/2 = 3$ 입니다.

등비중항

0이 아닌 세 수 a, b, c가 이 순서로 등비수열을 이루면 b/a = c/b 이므로 $b^{2} = ac$ 입니다. 이때 b를 a와 c의 등비중항이라고 합니다. 등차중항이 '합의 절반'이라면 등비중항은 '곱의 제곱근'입니다.