등차수열, 같은 수를 계속 더하는 수열

수열, 항, 일반항

2, 4, 6, 8, … 처럼 수를 순서대로 나열한 것을 수열이라 하고, 나열된 각 수를 항이라고 합니다. 첫째항, 둘째항, …, n째항을 $a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{n}$ 으로 쓰고, 수열 전체는 $\{a_{n}\}$ 으로 나타냅니다.

n째항 $a_{n}$을 n에 관한 식으로 나타낸 것을 일반항이라고 합니다. 일반항을 알면 어떤 항이든 n을 대입해 바로 구할 수 있습니다. 항이 유한개인 수열을 유한수열, 끝없이 이어지는 수열을 무한수열이라고 합니다.

등차수열과 공차

첫째항부터 차례로 일정한 수를 더해 만드는 수열을 등차수열이라 하고, 그 일정한 수를 공차(d)라고 합니다. 이웃한 두 항의 차 $a_{n+1} - a_{n}$ 이 항상 d로 같다는 뜻입니다. 공차는 음수나 0일 수도 있습니다.

등차수열의 일반항

첫째항이 a, 공차가 d이면 $a_{2} = a + d, a_{3} = a + 2d, a_{4} = a + 3d, \cdots$ 입니다. 제n항은 첫째항에 d를 (n − 1)번 더한 것이므로 다음과 같습니다.

1. 1
   $a_{n} = 2 + (n - 1)\cdot 3 = 3n - 1$
2. 2
   n = 1, 2를 넣어 확인: $a_{1} = 2, a_{2} = 5$ — 첫째항 2, 공차 3이 맞습니다.
3. 3
   $a_{10} = 3\cdot 10 - 1 = 29$

일반항은 n에 대한 일차식

$a_{n} = a + (n - 1)d$ 를 정리하면 $a_{n} = dn + (a - d)$ 이므로, 등차수열의 일반항은 n에 대한 일차식이고 n의 계수가 곧 공차입니다. 거꾸로 일반항이 $a_{n} = pn + q$ 꼴이면 공차는 p, 첫째항은 $a_{1} = p + q$ 인 등차수열입니다.

두 항을 알 때 일반항 구하기

미지수는 a와 d 두 개이므로, 항 두 개의 값을 알면 연립방정식으로 a, d를 모두 구할 수 있습니다. 두 식을 빼면 a가 사라지므로 $a_{m} - a_{n} = (m - n)d$ 를 이용해 d부터 구하는 것이 빠릅니다.

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   $a_{3} = a + 2d = 7, a_{8} = a + 7d = 22$
2. 2
   빼면 5d = 15 → d = 3
3. 3
   a + 2·3 = 7 → a = 1
4. 4
   $a_{n} = 1 + (n - 1)\cdot 3 = 3n - 2$. 확인: $a_{8} = 24 - 2 = 22$ ✓

등차중항

세 수 a, b, c가 이 순서로 등차수열을 이루면 b − a = c − b 이므로 2b = a + c 입니다. 이때 b를 a와 c의 등차중항이라고 합니다. 등차중항은 양 끝 두 수의 평균입니다.

거꾸로 더하기로 공식 만들기

첫째항이 a, 끝항(제n항)이 l인 등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합을 $S_{n}$이라 합시다. 같은 합을 순서를 거꾸로 써서 두 식을 더하면, 위아래로 짝지어진 두 항의 합이 모두 a + l로 같아집니다.

1. 1
   $S_{n} = a + (a + d) + (a + 2d) + \cdots + l$
2. 2
   $S_{n} = l + (l - d) + (l - 2d) + \cdots + a$
3. 3
   변끼리 더하면 $2S_{n} = (a + l) + (a + l) + \cdots + (a + l) = n(a + l)$
4. 4
   $S_{n} = n(a + l)/2$

끝항 l = a + (n − 1)d 를 대입하면, 끝항을 모를 때 쓰는 두 번째 형태가 됩니다.

어느 공식을 쓸까

1. 1
   끝항을 모르므로 두 번째 공식: $S_{10} = 10\{2\cdot 1 + 9\cdot 2\}/2$
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   $= 10\cdot \dfrac{20}{2} = 100$
3. 3
   확인: 끝항 $a_{10} = 1 + 9\cdot 2 = 19$ 이므로 10(1 + 19)/2 = 100 ✓

$S_{n}$에서 $a_{n}$ 꺼내기

$S_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n-1} + a_{n}$ 이고 $S_{n-1} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n-1}$ 이므로, 두 식을 빼면 $a_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ 입니다. 단, n = 1 일 때는 $S_{0}$이 없으므로 첫째항은 $a_{1} = S_{1}$ 로 따로 구합니다.

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   $a_{1} = S_{1} = 1 + 2 = 3$
2. 2
   $n \ge 2: a_{n} = (n^{2} + 2n) - \{(n - 1)^{2} + 2(n - 1)\} = (n^{2} + 2n) - (n^{2} - 1) = 2n + 1$
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   2n + 1 에 n = 1 을 넣으면 $3 = a_{1}$ 과 같으므로, 모든 n에 대해 $a_{n} = 2n + 1$

주의: $S_{n} = n^{2} + 2n + 1$ 처럼 상수항이 있으면 $a_{1} = S_{1} = 4$ 인데, $n \ge 2$ 에서 구한 식은 여전히 2n + 1 (n = 1 이면 3)이라 첫째항만 규칙에서 벗어납니다. 그래서 $a_{1}$은 반드시 따로 확인합니다.

자연수의 합, 짝수의 합

1 + 2 + … + n 은 첫째항 1, 끝항 n, 항의 수 n인 등차수열의 합이므로 n(1 + n)/2 입니다. 짝수의 합, 홀수의 합, 어떤 수의 배수의 합도 모두 같은 방법으로 구합니다.

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   3의 배수는 3, 6, 9, …, 99 — 첫째항 3, 끝항 99, 항의 수 33
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   S = 33(3 + 99)/2 = 33·51 = 1683