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01수열의 귀납적 정의

첫째항과 '앞 항 → 다음 항' 규칙만으로 수열이 정해집니다.

귀납적 정의란

지금까지는 일반항 $a_{n} = 3n - 1$ 처럼 n의 식으로 수열을 정했습니다. 그 대신 첫째항과 이웃한 항 사이의 관계식으로 수열을 정하는 것을 수열의 귀납적 정의라고 합니다. 관계식만 있으면 출발점이 없어 수열이 정해지지 않으므로 첫째항이 꼭 필요합니다.

a_{1} = 2, a_{n+1} = a_{n} + 3 (n = 1, 2, 3, \cdots )

Check

위 정의에 n = 1, 2, 3 을 차례로 넣으면 $a_{2} = a_{1} + 3 = 5, a_{3} = a_{2} + 3 = 8, a_{4} = a_{3} + 3 = 11$ 이므로 수열은 2, 5, 8, 11, … — 첫째항 2, 공차 3인 등차수열입니다.

항의 값 구하기

특정 항의 값은 관계식에 n = 1, 2, … 를 차례로 대입해 앞에서부터 계산합니다. 첨자가 두 개 이상 얽힌 관계식은 n을 넣었을 때 어느 항이 어느 항으로 바뀌는지 하나씩 확인합니다.

예제

$a_{1} = 1, a_{2} = 1, a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n}$ 으로 정의된 수열의 $a_{6}$ 을 구하시오.

1
$n = 1: a_{3} = a_{2} + a_{1} = 1 + 1 = 2$
2
$n = 2: a_{4} = a_{3} + a_{2} = 2 + 1 = 3$
3
$n = 3: a_{5} = a_{4} + a_{3} = 3 + 2 = 5$
4
$n = 4: a_{6} = a_{5} + a_{4} = 5 + 3 = 8 ($ 앞의 두 항을 더하는 피보나치 수열)