수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법

귀납적 정의란

지금까지는 일반항 $a_{n} = 3n - 1$ 처럼 n의 식으로 수열을 정했습니다. 그 대신 첫째항과 이웃한 항 사이의 관계식으로 수열을 정하는 것을 수열의 귀납적 정의라고 합니다. 관계식만 있으면 출발점이 없어 수열이 정해지지 않으므로 첫째항이 꼭 필요합니다.

항의 값 구하기

특정 항의 값은 관계식에 n = 1, 2, … 를 차례로 대입해 앞에서부터 계산합니다. 첨자가 두 개 이상 얽힌 관계식은 n을 넣었을 때 어느 항이 어느 항으로 바뀌는지 하나씩 확인합니다.

1. 1
   $n = 1: a_{3} = a_{2} + a_{1} = 1 + 1 = 2$
2. 2
   $n = 2: a_{4} = a_{3} + a_{2} = 2 + 1 = 3$
3. 3
   $n = 3: a_{5} = a_{4} + a_{3} = 3 + 2 = 5$
4. 4
   $n = 4: a_{6} = a_{5} + a_{4} = 5 + 3 = 8 ($앞의 두 항을 더하는 피보나치 수열)

관계식의 모양과 수열의 종류

$a_{n+1} - a_{n}$ 이 상수면 등차수열, $a_{n+1} \div a_{n}$ 이 상수면 등비수열입니다. 그러므로 관계식이 아래 두 꼴이면 이미 배운 일반항 공식을 바로 씁니다.

$a_{n+1} = a_{n} + f(n)$ 형

더해지는 양이 상수가 아니라 n에 따라 달라지는 꼴입니다. 관계식에 n = 1, 2, …, n − 1 을 넣은 식들을 변끼리 모두 더하면 가운데 항들이 지워지고 $a_{n} - a_{1} = f(1) + f(2) + \cdots + f(n - 1)$ 이 남습니다. 이 합은 Σ 기호로 $\sum _\{k=1\}^\{n-1\} f(k)$ 입니다.

1. 1
   $a_{2} - a_{1} = 2\cdot 1, a_{3} - a_{2} = 2\cdot 2, \cdots , a_{n} - a_{n-1} = 2(n - 1)$
2. 2
   변끼리 더하면 $a_{n} - a_{1} = 2(1 + 2 + \cdots + (n - 1)) = 2\cdot (n - 1)\dfrac{n}{2} = n^{2} - n$
3. 3
   $a_{n} = 1 + n^{2} - n = n^{2} - n + 1$
4. 4
   확인: $n = 1 \to 1 = a_{1}$ ✓, $n = 2 \to 3 = a_{1} + 2$ ✓, $n = 3 \to 7 = a_{2} + 4$ ✓

주의: Σ의 위끝은 n이 아니라 n − 1 입니다$(a_{n}$까지 가려면 관계식을 n − 1 번 쓰므로). 구한 식에 n = 1, 2 를 넣어 처음 항과 맞는지 반드시 확인합니다.

등비수열로 바꾸는 방법

곱하고 더하는 꼴 $a_{n+1} = p\cdot a_{n} + q (p \ne 1)$ 는 그대로는 등차도 등비도 아닙니다. 하지만 양변에서 어떤 수 α를 빼서 $a_{n+1} - \alpha = p(a_{n} - \alpha )$ 꼴로 만들 수 있다면, 수열 $\{a_{n} - \alpha \}$ 는 공비 p인 등비수열이 됩니다. 이 식을 전개하면 $a_{n+1} = p\cdot a_{n} - p\alpha + \alpha$ 이므로 $q = \alpha - p\alpha$, 즉 α는 관계식의 $a_{n+1}, a_{n}$ 자리에 모두 α를 넣은 방정식 $\alpha = p\alpha + q$ 의 해입니다.

1. 1
   $\alpha = p\alpha + q$ 를 풀어 α를 구합니다.
2. 2
   $\{a_{n} - \alpha \}$ 는 첫째항 $a_{1} - \alpha$, 공비 p인 등비수열: $a_{n} - \alpha = (a_{1} - \alpha )\cdot p^{n-1}$
3. 3
   $a_{n} = (a_{1} - \alpha )\cdot p^{n-1} + \alpha$

1. 1
   $\alpha = 2\alpha + 1 \to \alpha = -1$
2. 2
   $a_{n+1} + 1 = 2(a_{n} + 1)$ 이므로 $\{a_{n} + 1\}$ 은 첫째항 $a_{1} + 1 = 2$, 공비 2인 등비수열
3. 3
   $a_{n} + 1 = 2\cdot 2^{n-1} = 2^{n} \to a_{n} = 2^{n} - 1$
4. 4
   확인: 1, 3, 7, 15, … — 관계식으로 직접 구한 $a_{2} = 2\cdot 1 + 1 = 3, a_{3} = 2\cdot 3 + 1 = 7$ 과 일치 ✓

두 단계로 증명하기

자연수 n에 관한 명제가 모든 자연수에 대해 성립함을 보이려면 무한히 많은 경우를 다 확인할 수 없습니다. 수학적 귀납법은 두 가지만 보입니다: (i) n = 1 일 때 성립한다. (ii) n = k 일 때 성립한다고 가정하면 n = k + 1 일 때도 성립한다. 그러면 1 → 2 → 3 → … 으로 모든 자연수에 대해 성립합니다.

(ii)에서는 'n = k 일 때의 식'을 반드시 한 번 사용해서 'n = k + 1 일 때의 식'을 만들어 냅니다. 가정을 쓰지 않았다면 귀납법이 아닙니다.

등식 증명 예

1. 1
   (i) n = 1: 좌변 1, 우변 $1\cdot \dfrac{2}{2} = 1$ 이므로 성립
2. 2
   (ii) n = k 일 때 성립한다고 가정: 1 + 2 + … + k = k(k + 1)/2
3. 3
   양변에 k + 1 을 더하면 $1 + 2 + \cdots + k + (k + 1) = k(k + 1)/2 + (k + 1) = (k + 1)(\dfrac{k}{2} + 1) = (k + 1)\dfrac{k + 2}{2}$
4. 4
   이는 우변에 n = k + 1 을 넣은 (k + 1){(k + 1) + 1}/2 과 같으므로 n = k + 1 일 때도 성립
5. 5
   (i), (ii)에 의해 모든 자연수 n에 대해 성립

부등식 증명 예 (개요)

1. 1
   $(i) n = 1: 2^{1} = 2 > 1$ 이므로 성립
2. 2
   $(ii) 2^{k} > k$ 라고 가정. 양변에 2를 곱하면 $2^{k+1} > 2k$
3. 3
   $k \ge 1$ 이므로 $2k = k + k \ge k + 1$. 따라서 $2^{k+1} > 2k \ge k + 1 \to n = k + 1$ 일 때도 성립

부등식에서는 가정한 부등식을 한 번 쓴 뒤, 목표 식과의 남은 차이를 $k \ge 1$ 같은 조건으로 처리하는 것이 핵심입니다.