거듭제곱근과 지수의 확장

n제곱근의 뜻

중3에서 배운 제곱근은 "제곱하면 a가 되는 수"였습니다. 이것을 그대로 넓혀, 어떤 수를 n제곱해서 a가 될 때 그 수를 a의 n제곱근이라 합니다. 즉 방정식 $x^{n} = a$ 를 만족시키는 x입니다. n = 2, 3, 4, …에 따라 제곱근, 세제곱근, 네제곱근, …이라 부르고, 이들을 통틀어 거듭제곱근이라고 합니다.

교과서에서는 근호 앞에 작은 n을 붙여 씁니다. 이 레슨에서는 "$3\sqrt{8}$"처럼 쓰면 $3 \times \sqrt{8}$ 로 오해할 수 있으므로 "세제곱근 8"처럼 말로 쓰거나, 뒤에서 배우는 지수 표기 $8^{\dfrac{1}{3}}$을 사용합니다.

실수인 거듭제곱근의 개수

$x^{n} = a$ 의 실수인 해가 몇 개인지는 n이 홀수인지 짝수인지, 그리고 a의 부호에 따라 달라집니다. 곡선 $y = x^{n}$ 과 직선 y = a 의 교점 개수를 떠올리면 됩니다. n이 홀수이면 $y = x^{n}$ 은 계속 증가하는 곡선이라 어떤 a에 대해서도 교점이 딱 하나입니다. n이 짝수이면 $y = x^{n}$ 은 $y \ge 0$ 인 U자 모양이라 a > 0 이면 교점이 두 개, a = 0 이면 한 개, a < 0 이면 없습니다.

a > 0 일 때 "n제곱근 a"라고 쓰면 실수인 n제곱근 중 양수인 것 하나를 뜻합니다. n이 짝수이면 음수인 것은 "−(n제곱근 a)"로 나타냅니다. a < 0 이고 n이 홀수일 때 "n제곱근 a"는 음수인 그 하나를 뜻합니다.

곱·나눗셈·거듭제곱·거듭제곱근의 성질

a > 0, b > 0 이고 m, n이 2 이상의 자연수일 때 다음 성질이 성립합니다. 이유는 모두 같습니다. 양변을 n제곱하면 같은 값이 나오고, 양변이 모두 양수이므로 두 수는 같습니다.

근호 안을 간단히 하기

n제곱근 $(a^{n}) = a (a > 0)$ 임을 이용하면, 근호 안의 수 중 지수가 n의 배수인 소인수는 근호 밖으로 꺼낼 수 있습니다.

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   근호 안의 수를 소인수분해합니다.
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   지수가 n의 배수인 소인수는 근호 밖으로 꺼냅니다 (n제곱근 $a^{n} = a)$.
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   남은 것은 근호 안에 그대로 둡니다.

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   $48 = 2^{4} \times 3$
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   네제곱근 $(2^{4} \times 3) =$ 네제곱근 $(2^{4}) \times$ 네제곱근 $3 = 2 \times$ 네제곱근 3

0과 음의 정수 지수

지금까지 지수는 자연수였고, 지수법칙 $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$ 은 m > n 일 때만 썼습니다. 이 법칙이 $m \le n$ 일 때도 성립하려면 $a^{0}$과 $a^{-n}$을 어떻게 정해야 할까요? $a^{3} \div a^{3} = 1$ 이어야 하니 $a^{0} = 1$, $a^{2} \div a^{5} = \dfrac{1}{a^{3}}$ 이어야 하니 $a^{-3} = \dfrac{1}{a^{3}}$ 으로 정하면 지수법칙이 그대로 살아납니다.

유리수 지수

이번에는 $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ 이 유리수 지수에서도 성립하도록 정합니다. $a^{\dfrac{1}{n}}$을 n제곱하면 $a^{\dfrac{1}{n} \times n} = a^{1} = a$ 가 되어야 하므로, $a^{\dfrac{1}{n}}$은 "n제곱하면 a가 되는 양수", 곧 n제곱근 a 입니다. 같은 방식으로 $a^{\dfrac{m}{n}} = (a^{\dfrac{1}{n}})^{m} = (n$제곱근 $a)^{m} = n$제곱근 $(a^{m})$ 입니다.

밑 a > 0 이라는 조건을 잊지 마세요. 음수의 유리수 지수는 정의하지 않습니다. 예를 들어 $(-8)^{\dfrac{1}{3}}$ 을 −2 로 정하고 같은 값인 $(-8)^{\dfrac{2}{6}}$ 을 여섯제곱근 64 = 2 로 계산하면 서로 다른 값이 나와 모순이 생기기 때문입니다.

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   $8 = 2^{3}$ 이므로 $8^{\dfrac{2}{3}} = (2^{3})^{\dfrac{2}{3}} = 2^{2} = 4$
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   $16 = 2^{4}$ 이므로 $16^{-\dfrac{3}{4}} = (2^{4})^{-\dfrac{3}{4}} = 2^{-3} = \dfrac{1}{8}$

실수 지수와 지수법칙 정리

지수가 $\sqrt{2}$ 같은 무리수일 때는 $\sqrt{2}$ 에 가까워지는 유리수 1.4, 1.41, 1.414, … 를 지수로 한 값 $2^{1.4}, 2^{1.41}, 2^{1.414}, \cdots$ 이 어떤 하나의 값에 가까워지는데, 그 값을 $2^{\sqrt{2}}$ 로 정합니다. 이렇게 하면 지수가 임의의 실수일 때도 다음 지수법칙이 모두 성립합니다.

유리수 지수로 통일하기

세제곱근, 네제곱근이 뒤섞인 식은 성질을 하나씩 적용하기보다 모두 유리수 지수로 바꾼 뒤 지수법칙으로 지수만 계산하는 편이 빠르고 실수가 적습니다.

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   근호를 모두 유리수 지수로 바꿉니다: n제곱근 $(a^{m}) = a^{\dfrac{m}{n}}$
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   밑을 소인수분해해 같은 밑으로 맞춥니다: $4 = 2^{2}, 8 = 2^{3}, 27 = 3^{3}$
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   지수법칙으로 지수를 더하고 빼서 정리합니다.
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   필요하면 결과를 다시 근호 꼴로 씁니다.

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   세제곱근 $16 = 16^{\dfrac{1}{3}} = (2^{4})^{\dfrac{1}{3}} = 2^{\dfrac{4}{3}}$, 네제곱근 $8 = (2^{3})^{\dfrac{1}{4}} = 2^{\dfrac{3}{4}}, 12$제곱근 $2 = 2^{\dfrac{1}{12}}$
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   지수를 모으면 $\dfrac{4}{3} + \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{16}{12} + \dfrac{9}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{24}{12} = 2$
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   따라서 값은 $2^{2} = 4$