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01거듭제곱근이란 무엇인가?

제곱해서 a가 되는 수가 제곱근이듯, n제곱해서 a가 되는 수가 n제곱근입니다.

n제곱근의 뜻

중3에서 배운 제곱근은 "제곱하면 a가 되는 수"였습니다. 이것을 그대로 넓혀, 어떤 수를 n제곱해서 a가 될 때 그 수를 a의 n제곱근이라 합니다. 즉 방정식 $x^{n} = a$ 를 만족시키는 x입니다. n = 2, 3, 4, …에 따라 제곱근, 세제곱근, 네제곱근, …이라 부르고, 이들을 통틀어 거듭제곱근이라고 합니다.

x

가

a

의

n

제곱근

\Leftrightarrow x^{n} = a (n

은

2

이상의 자연수)

교과서에서는 근호 앞에 작은 n을 붙여 씁니다. 이 레슨에서는 " $3\sqrt{8}$ "처럼 쓰면 $3 \times \sqrt{8}$ 로 오해할 수 있으므로 "세제곱근 8"처럼 말로 쓰거나, 뒤에서 배우는 지수 표기 $8^{1/3}$ 을 사용합니다.

Check

$2^{3} = 8$ 이므로 2는 8의 세제곱근입니다 $. (-2)^{3} = -8$ 이므로 −2는 −8의 세제곱근입니다 $. 3^{4} = 81$ 이고 $(-3)^{4} = 81$ 이므로 3과 −3은 모두 81의 네제곱근입니다.

실수인 거듭제곱근의 개수

$x^{n} = a$ 의 실수인 해가 몇 개인지는 n이 홀수인지 짝수인지, 그리고 a의 부호에 따라 달라집니다. 곡선 $y = x^{n}$ 과 직선 y = a 의 교점 개수를 떠올리면 됩니다. n이 홀수이면 $y = x^{n}$ 은 계속 증가하는 곡선이라 어떤 a에 대해서도 교점이 딱 하나입니다. n이 짝수이면 $y = x^{n}$ 은 $y \ge 0$ 인 U자 모양이라 a > 0 이면 교점이 두 개, a = 0 이면 한 개, a < 0 이면 없습니다.

	a > 0	a = 0	a < 0
n이 홀수	1개 (양수)	1개 (0)	1개 (음수)
n이 짝수	2개 (절댓값이 같고 부호가 반대)	1개 (0)	없음

a > 0 일 때 "n제곱근 a"라고 쓰면 실수인 n제곱근 중 양수인 것 하나를 뜻합니다. n이 짝수이면 음수인 것은 "−(n제곱근 a)"로 나타냅니다. a < 0 이고 n이 홀수일 때 "n제곱근 a"는 음수인 그 하나를 뜻합니다.

Check

16의 실수인 네제곱근은 2와 −2로 2개이고, "네제곱근 16"이라 쓰면 양수인 2를 뜻합니다. −16의 실수인 네제곱근은 없습니다. −27의 실수인 세제곱근은 −3 하나입니다.