로그, 지수를 거꾸로 묻기

홈›고2 · 대수›01 지수함수와 로그함수

이 레슨에서 해볼 일

로그를 지수의 질문으로 해석하고 밑·진수 조건을 확인한다.
로그의 성질과 상용로그로 간단한 수의 값을 계산한다.

먼저 볼 개념과 교과 연결

현재 교과의 개념을 연결합니다.

0과 음의 정수 지수 유리수 지수 실수 지수와 지수법칙 정리

2022 개정 · 고등학교 대수: 12대수01-04, 12대수01-05

교육과정 원문 대조 기준이며 교과서 진도와 교사 최종 검토는 확인 중입니다.

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기본 목표 문제0/4 확인

대표 목표를 확인하는 문제입니다. 선택 심화는 별도로 도전할 수 있어요.

전체 진도0%

01. 로그의 정의
0/2 · 0%
02. 로그의 성질
0/1 · 0%
03. 로그의 밑 변환
0/2 · 0%
04. 상용로그
0/2 · 0%
기초
0/5 · 0%
응용
0/5 · 0%
심화
0/3 · 0%

개념 카드는 읽은 만큼, 문제는 맞힌 만큼 올라갑니다. 이 기기에만 저장됩니다.

01로그의 정의

$a^{x} = N$ 에서 지수 x를 a와 N으로 나타낸 것이 로그입니다.

로그란 무엇인가

$2^{3} = 8$ 에서 8을 구하는 것이 , 2를 구하는 것이 이었습니다. 그렇다면 3은 어떻게 구할까요? "2를 몇 해야 8이 되는가"의 답 3을 로 나타내어 $\log _{2} 8 = 3$ 이라 씁니다. 이때 2를 , 8을 라고 합니다.

a^{x} = N \Leftrightarrow x = \log _a N (a > 0, a \ne 1, N > 0)

이 레슨에서 $\log _a N$ 은 "밑이 a인 N의 "를 뜻하며, $\log _{2} 8$ 처럼 밑을 아래첨자로 쓰기도 합니다. 로그는 새로운 수가 아니라 를 부르는 다른 이름입니다.

관계	구하는 것	예 $(2^{3} = 8)$
	결과 N	$8 = 2^{3}$
	밑 a	2 = $8 = 8^{\dfrac{1}{3}}$
	x	$3 = \log _{2} 8$

Check

$\log _{3} 81 = 4 (3^{4} = 81), \log _{5} (\dfrac{1}{25}) = -2 (5^{-2} = \dfrac{1}{25}), \log _{10} 1000 = 3 (10^{3} = 1000)$

밑과 진수의 조건

가 정의되려면 밑은 1이 아닌 , 는 양수여야 합니다. 밑이 1이면 $1^{x}$ 은 항상 1이라 x가 하나로 정해지지 않고, 밑이 이면 $(-2)^{x}$ 처럼 실수로 정의되지 않는 x가 생깁니다. 진수 N은 $a^{x}$ 의 값인데 양수의 은 항상 양수이므로 진수도 양수여야 합니다.

밑:

a > 0, a \ne 1

진수:

N > 0

예제

$\log _{2} (x - 3)$ 이 정의되기 위한 x의 범위는?

1
조건: x − 3 > 0
2
따라서 x > 3

Check

$\log _{x-1} 5$ 가 정의되려면 밑 조건에서 x − 1 > 0 이고 $x - 1 \ne 1$ , 즉 x > 1 이고 $x \ne 2$ 입니다.

02로그의 성질

지수법칙을 로그의 말로 옮기면 곱은 합으로, 나눗셈은 차로 바뀝니다.

기본 성질

$a^{0} = 1, a^{1} = a$ 를 로 옮기면 바로 두 성질이 나옵니다.

\log _a 1 = 0, \log _a a = 1

이제 $M = a^{m}, N = a^{n}$ 이라 하면 $MN = a^{m+n}$ 이므로 $\log _a MN = m + n = \log _a M + \log _a N$ 입니다. 같은 방식으로 나눗셈은 의 차, 은 지수의 배가 됩니다.

	의 성질 $(a > 0, a \ne 1, M > 0, N > 0)$
$a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$	$\log _a MN = \log _a M + \log _a N$
$a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$	$\log _a (M \div N) = \log _a M - \log _a N$
$(a^{m})^{k} = a^{mk}$	$\log _a M^{k} = k \log _a M (k$ 는 실수)

주의: $\log _a (M + N)$ 은 $\log _a M + \log _a N$ 과 같지 않고, $(\log _a M)^{k}$ 은 $k \log _a M$ 과 같지 않습니다.

예제

$\log _{2} 12 - \log _{2} 3$ 의 값은?

1
나눗셈의 성질로 묶으면 $\log _{2} (12 \div 3) = \log _{2} 4$
2
$4 = 2^{2}$ 이므로 $\log _{2} 4 = 2$

Check

$\log _{6} 4 + \log _{6} 9 = \log _{6} 36 = 2, \log _{5} 125^{\dfrac{1}{3}} = (\dfrac{1}{3}) \log _{5} 125 = (\dfrac{1}{3}) \times 3 = 1$

03로그의 밑 변환

밑이 다른 로그도 밑을 하나로 통일하면 계산할 수 있습니다.

밑 변환 공식

$\log _a b = x$ 라 하면 $a^{x} = b$ 입니다. 에 밑이 c인 를 취하면 $\log _c a^{x} = \log _c b$ , 즉 $x \log _c a = \log _c b$ 이므로 $x = \log _c b \div \log _c a$ 입니다. 밑을 원하는 c로 바꿀 수 있다는 뜻입니다.

\log _a b = \log _c b / \log _c a (a, c > 0, a \ne 1, c \ne 1, b > 0)

여기서 c = b 로 두면 $\log _a b = \log _b b / \log _b a = 1 / \log _b a$ 가 되어 다음 관계가 나옵니다.

\log _a b \times \log _b a = 1, \log _a b = 1 / \log _b a

예제

$\log _{2} 3 \times \log _{3} 8$ 의 값은?

1
밑을 2로 통일: $\log _{3} 8 = \log _{2} 8 / \log _{2} 3$
2
곱하면 $\log _{2} 3 \times (\log _{2} 8 / \log _{2} 3) = \log _{2} 8$
3
$8 = 2^{3}$ 이므로 값은 3

밑 변환에서 나오는 유용한 공식

밑 변환 공식을 꼴에 적용하면 밑과 의 를 앞으로 꺼낼 수 있습니다. 또 $x = \log _a b$ 를 $a^{x} = b$ 로 되돌리면 $a^{\log _a b} = b$ 라는 사실도 얻습니다. "a를 $\log _a b$ 하면 b"라는 정의 그 자체입니다.

공식	예
$\log _{a^{m}} b^{n} = (\dfrac{n}{m}) \log _a b$	$\log _{4} 8 = \log _{2^{2}} 2^{3} = (\dfrac{3}{2}) \log _{2} 2 = \dfrac{3}{2}$
$a^{\log _a b} = b$	$2^{\log _{2} 5} = 5$
$a^{\log _c b} = b^{\log _c a}$	$2^{\log _{3} 5} = 5^{\log _{3} 2}$

Check

$\log _{9} 27 = \log _{3^{2}} 3^{3} = \dfrac{3}{2}, 3^{\log _{3} 7} = 7, \log _{2} 5 \times \log _{5} 2 = 1$

조건 확인

밑 변환의 공식은 $a > 0, a \ne 1, b > 0, m \ne 0$ 에서 씁니다. m = 0이면 새 밑 $a^{m} = 1$ 이라 가 정의되지 않습니다. $a^{\log _c b} = b^{\log _c a}$ 에서는 $a, b > 0, c > 0, c \ne 1$ 이 필요합니다.

04상용로그

밑이 10인 로그는 수의 자릿수와 곧바로 연결됩니다.

상용로그와 지표·가수

밑이 10인 를 라 하고, 밑을 생략해 $\log N$ 으로 씁니다. $\log 10 = 1, \log 100 = 2, \log 1000 = 3$ 이므로 $\log N$ 의 부분은 N이 몇 자리 수인지와 관련이 있습니다. N을 $N = 10^{n} \times M (1 \le M < 10)$ 꼴로 쓰면 $\log N = n + \log M$ 이고 $0 \le \log M < 1$ 입니다. 이때 정수 n을 , 부분 $\log M$ 을 라고 합니다.

\log N = n + \log M (n

: 지표,

0 \le \log M < 1

: 가수)

$N \ge 1$ 일 때 가 n이면 N의 부분은 (n + 1)자리입니다. 예를 들어 $\log N = 3.xxx$ 이면 N은 $10^{3}$ 이상 $10^{4}$ 이므로 4자리 수입니다. 자주 쓰는 값 $\log 2 \approx 0.3010, \log 3 \approx 0.4771$ 이 주어지면 의 성질로 다른 값도 만들 수 있습니다.

예제

$\log 2 \approx 0.3010$ 일 때, $2^{20}$ 은 몇 자리 인가?

1
$\log 2^{20} = 20 \log 2 \approx 20 \times 0.3010 = 6.020$
2
가 6 이므로 $2^{20}$ 은 7자리 (실제로 $2^{20} = 1048576)$

Check

$\log 5 = \log (10 \div 2) = 1 - \log 2 \approx 0.6990, \log 6 = \log 2 + \log 3 \approx 0.7781, \log 4 = 2 \log 2 \approx 0.6020$

N	자릿수 해석
$N \ge 1, 10^{n} \le N < 10^{n+1} (n \ge 0)$	부분은 n + 1자리. 특히 N의 자릿수에 사용한다.
0 < N < 1	는 이며 정수 자릿수 공식을 그대로 쓰지 않는다. 예: $\log 0.02 = -2 + \log 2$ .

상용로그표와 비례부분 (개요)

1.00부터 9.99까지 수의 값을 정리한 표가 입니다. 표에는 가수만 실려 있으므로 는 직접 정하고 가수만 표에서 읽습니다. 표에 없는 수(예: 3.145)의 값은 이웃한 두 값 사이를 간격에 비례해 나눠 어림하는데, 이를 이라 합니다.

1
$N = 10^{n} \times M (1 \le M < 10)$ 꼴로 씁니다. 예: $3140 = 10^{3} \times 3.14$
2
표에서 $\log M($ 가수)을 읽습니다. 예: $\log 3.14 \approx 0.4969$
3
$\log N = n + \log M$ . 예: $\log 3140 \approx 3 + 0.4969 = 3.4969$

선택 탐구

2022 대수의 기본 목표는 의 의미와 활용입니다. ·가수라는 용어 암기, 읽기, 보간은 관련된 선택 탐구이며 필수 평가 목표로 두지 않습니다. 계산기와 표의 역할을 비교할 때 읽어도 됩니다.

05레벨별로 풀어보기

개념을 확인했다면 아래 문제로 점검해 보세요. 답을 입력하고 채점하기를 누르면 결과가 나타납니다.

채점표

기초

0/5

응용

0/5

심화

0/3

기초로그의 정의와 진수 조건, 기본 성질

문제 1

\log _{2} 8

의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

\log _{3} (\dfrac{1}{9})

의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

\log _{2} (x - 3)

이 정의되기 위한 x의 범위를 구하시오. (x>a 형태로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 4

\log _{6} 2 + \log _{6} 3

의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 5

\log _{2} 32 - \log _{2} 4

의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

응용밑 변환 공식과 상용로그 값 계산

문제 1

\log _{2} 3 \times \log _{3} 8

의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

\log _{4} 8

의 값을 구하시오. (로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

2^{\log _{2} 5}

의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 4

\log _{2} \sqrt{32}

의 값을 구하시오. (로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 5

\log 2 \approx 0.3010

일 때,

\log 5

의 값을 넷째 자리까지 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

심화자릿수 구하기, 밑이 다른 로그 여러 개 정리하기

문제 1

\log 2 \approx 0.3010

일 때,

2^{30}

은 몇 자리 인지 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

\log 2 \approx 0.3010, \log 3 \approx 0.4771

일 때,

6^{20}

은 몇 자리 인지 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

(\log _{2} 3 + \log _{4} 9) \times \log _{9} 8

의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)